Без рубрики → На острове живут 100 рыцарей и 100 лжецов

Предлагаю для повышения интеллектуального тонуса задачи с всероссийской олимпиады для 10 классов.

№1

В очереди к стоматологу стоят 30 ребят: мальчиков и девочек.
Часы на стене показывают 8:00.
Как только начинается новая минута, каждый мальчик, за которым стоит девочка, пропускает ее вперед.
Вопрос: Во сколько должна открыться дверь кабинета, чтобы перестановки в очереди гарантированно закончились?

№2

На острове живут 100 рыцарей и 100 лжецов, у каждого из них есть хотя бы один друг. Рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда лгут. Однажды утром каждый житель произнес либо фразу «Все мои друзья — рыцари», либо фразу «Все мои друзья — лжецы», причем каждую из фраз произнесло ровно 100 человек. Найдите наименьшее возможное число пар друзей, один из которых рыцарь, а другой — лжец.

№3

Имеется три комиссии бюрократов, известно, что для каждой пары бюрократов из разных комиссий, среди членов оставшейся комиссии есть ровно 10 бюрократов, которые знакомы с обоими, и ровно 10 бюрократов, которые незнакомы с обоими. Найдите общее число бюрократов в комиссиях.